एक त्रिभुज का परिकेंद्र

एक त्रिभुज का परिकेन्द्र

लक्ष्य:

यह दर्शाना कि एक त्रिभुज की भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक एक बिन्दु पर (जिसे परिकेन्द्र कहा जाता है) संगामी होते हैं और वह बिन्दु एक न्यूनकोणीय त्रिभुज के अन्दर होता है, समकोणीय त्रिभुज के कर्ण पर तथा अधिककोणीय त्रिभुज के बाहर होता है।

 

परिकेन्द्र

परिभाषा

त्रिकोण का परिकेन्द्र उसके तीनों लम्ब समद्विभाजकों का परिच्छेद बिन्दु होता है। यह वहां होता है जहां “लम्ब समद्विभाजक” (वे रेखाएं जो प्रत्येक भुजा के मध्य बिन्दु से समकोण पर होती हैं) मिलते हैं। त्रिकोण का परिकेन्द्र शीर्ष बिन्दुओं से समदूरस्थ होता है तथा परिकेन्द्र के तीनों शीर्ष बिन्दुओं प्रत्येक से परिकेन्द्र की दूरी त्रिकोण की परि-त्रिज्या कहलाती है।

गुण

1) त्रिकोण के समस्त शीर्ष बिन्दु परिकेन्द्र से समदूरस्थ होते हैं।

2) परिकेन्द्र परिवृत्त का केन्द्र भी होता है।

3) न्यूनकोणीय त्रिभुज के लिए, वह त्रिभुज के अन्दर होता है (चित्र (a)) देखें।

4) अधिककोणीय त्रिभुज के लिए, वह त्रिभुज के बाहर होता है (चित्र (c)) देखें।

5) समकोणीय त्रिभुज के लिए, परिकेन्द्र कर्ण का मध्य-बिन्दु होता है (चित्र (b)) देखें।

                                   चित्र (a)       

                               चित्र (b)

 

                     चित्र (c)

त्रिभुज का केंद्रक

त्रिभुज का केन्द्रक

लक्ष्य:

यह दर्शाना कि एक त्रिभुज की मध्य रेखाएं एक बिन्दु (केन्द्रक) से होकर गुज़रती हैं; जो हमेशा त्रिभुज के अन्दर होता है।  

सिद्धांत:

एक त्रिभुज का केन्द्रक वह बिन्दु होता है जहां त्रिभुज की तीन मध्यरेखाएं मिलती हैं। त्रिभुज की मध्यरेखा एक शीर्ष से त्रिकोण की विपरीत भुजा के मध्य-बिन्दु तक रेखा खंड होती है। केन्द्रक को त्रिभुज का गुरुत्व केन्द्र भी कहा जाता है। यदि आपके पास एक त्रिकोणीय प्लेट हो तो उसे अपनी उंगली पर संतुलित करने की कोशिश कीजिए। जब आप वह बिन्दु पा लें जहां वह प्लेट संतुलित हो जाए, वही उस त्रिभुज का केन्द्रक होगा।   

केन्द्रक के गुण:

● वह हमेशा त्रिभुज के अन्दर होता है।

● केन्द्रक प्रत्येक मध्यरेखा को 2:1 के अनुपात में बांटता है। दूसरे शब्दों में, केन्द्रक हमेशा किसी भी मध्यरेखा के सहारे 2/3 दूरी पर होगा।

● नीचे दिए गए चित्रों में c, त्रिभुज (a, b & c) का केन्द्रक है।

       

   न्यून-कोणीय (a)                                                सम-कोणीय (b)                                         अधिक-कोणीय (c)

त्रिभुज का क्षेत्रफल( area of triangles)

त्रिभुज का क्षेत्रफल

उद्देश्य:

यह दर्शाना कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार व ऊंचाई के गुणनफल का आधा होता है।

पूर्व-आवश्यक ज्ञान:

एक आयत का क्षेत्रफल उसकी लम्बाई व ऊंचाई का गुणनफल होता है।एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार व ऊंचाई का गुणनफल होता है।एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बांट देता है।

 

सिद्धांत:

त्रिभुज:

त्रिभुज ज्यामिती में आधारभूत आकारों में से एक है: एक बहुभुज जिसके तीन कोने या शीर्ष होते हैं और तीन भुजाएं या धार जो कि रेखा खंड होते हैं।

 

 

त्रिभुजों के प्रकार:

 

सम कोण त्रिभुज:

 

एक सम कोण त्रिभुज में अंतः कोणों में से एक का माप 90° होता है। सम कोण के विपरीत भुजा कर्ण होती है; वह त्रिभुज की सबसे लम्बी भुजा होती है। भुजाओं a, b, c के एक सम कोण त्रिभुज के लिए जिसमें c कर्ण हो, a2 + b2 = c2.

न्यून कोण त्रिभुज:

एक त्रिभुज जिसके सभी अंतः कोणों का माप 90° से कम हो, न्यून त्रिभुज या न्यून कोण त्रिभुज कहलाता है। भुजाओं a, b, c के एक सम कोण त्रिभुज के लिए जिसमें c सबसे बड़ी भुजा हो, a2 + b2 > c2

 

अधिक कोण त्रिभुज:

एक त्रिभुज जिसके एक अंतः कोण का माप 90° से अधिक हो, अधिक त्रिभुज या अधिक कोण त्रिभुज होता है। भुजाओं a, b, c के एक अधिक कोण त्रिभुज के लिए जिसमें c सबसे बड़ी भुजा हो, a2 + b2 < c2

मध्य बिंदु प्रमेय

मध्य बिंदु प्रमेय
लक्ष्य:

एक त्रिकोण के लिए मध्य-बिन्दु प्रमेय की पुष्टि करना।

प्रमेय:

“त्रिकोण की दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड उसकी तीसरी भुजा के समांतर होता है तथा तीसरी भुजा की आधी लम्बाई के बराबर होता है।“

मूलभूत अवधारणाएं तथा तथ्य :

समांतर रेखाएं: 

दो रेखाएं समांतर होती हैं यदि उनका किसी भी बिन्दु पर मेल नहीं होता है।

सर्वांगसम त्रिभुज:

दो त्रिकोण सर्वांगसम होते हैं यदि उनके संगत कोण तथा संगत भुजाएं बराबर हों।

समान त्रिकोण:

दो त्रिकोण समान होते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों तथा उनकी संगत भुजाएं अनुपात में हों।

 

प्रमेय का प्रमाण:
 

   
आकृति A में दिया गया है:

AP=PB, AQ=QC.

यह सिद्ध करना है कि:

 PQ || BC  तथा  PQ=1/2 BC

योजना:

यह सिद्ध करना है कि ▲ APQ ≅ ▲ QRC

प्रमाण के चरण:

              1. AQ=QC [मध्यबिन्दु]
              2. ∠ APQ = ∠QRC [एक अनुप्रस्थ रेखा द्वारा काटी गई समांतर रेखाओं के लिए संगत कोण]।
              3. ∠PBR=∠QRC=∠APQ [एक अनुप्रस्थ रेखा द्वारा काटी गई समांतर रेखाओं के लिए संगत कोण]।
              4. ∠RQC=∠PAQ [जब किसी त्रिभुज में संगत कोणों के दो जोड़ सर्वांगसम होते हैं, तो तीसरा जोड़ भी सर्वांगसम होता है]।
              5. अतः, ▲APQ ≅ ▲QRC
              6. AP=QR=PB  तथा  PQ=BR=RC.

चूंकि मध्य बिन्दु विरले हैं, और बिन्दुओं को जोड़ने वाली रेखाएं विरली हैं, यह कथन प्रमाणित होता है।