मध्य बिंदु प्रमेय

मध्य बिंदु प्रमेय
लक्ष्य:

एक त्रिकोण के लिए मध्य-बिन्दु प्रमेय की पुष्टि करना।

प्रमेय:

“त्रिकोण की दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड उसकी तीसरी भुजा के समांतर होता है तथा तीसरी भुजा की आधी लम्बाई के बराबर होता है।“

मूलभूत अवधारणाएं तथा तथ्य :

समांतर रेखाएं: 

दो रेखाएं समांतर होती हैं यदि उनका किसी भी बिन्दु पर मेल नहीं होता है।

सर्वांगसम त्रिभुज:

दो त्रिकोण सर्वांगसम होते हैं यदि उनके संगत कोण तथा संगत भुजाएं बराबर हों।

समान त्रिकोण:

दो त्रिकोण समान होते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों तथा उनकी संगत भुजाएं अनुपात में हों।

 

प्रमेय का प्रमाण:
 

   
आकृति A में दिया गया है:

AP=PB, AQ=QC.

यह सिद्ध करना है कि:

 PQ || BC  तथा  PQ=1/2 BC

योजना:

यह सिद्ध करना है कि ▲ APQ ≅ ▲ QRC

प्रमाण के चरण:

              1. AQ=QC [मध्यबिन्दु]
              2. ∠ APQ = ∠QRC [एक अनुप्रस्थ रेखा द्वारा काटी गई समांतर रेखाओं के लिए संगत कोण]।
              3. ∠PBR=∠QRC=∠APQ [एक अनुप्रस्थ रेखा द्वारा काटी गई समांतर रेखाओं के लिए संगत कोण]।
              4. ∠RQC=∠PAQ [जब किसी त्रिभुज में संगत कोणों के दो जोड़ सर्वांगसम होते हैं, तो तीसरा जोड़ भी सर्वांगसम होता है]।
              5. अतः, ▲APQ ≅ ▲QRC
              6. AP=QR=PB  तथा  PQ=BR=RC.

चूंकि मध्य बिन्दु विरले हैं, और बिन्दुओं को जोड़ने वाली रेखाएं विरली हैं, यह कथन प्रमाणित होता है।